Question

9．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当x∈[1，3]时，不等式$\frac{a}{x}≤\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}≤\frac{a+4}{2x}$恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|-1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$是[0，+∞）上的弱减函数．
（2）根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}a≤{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{min}}\\ \frac{a+4}{2}≥{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{max}}\end{array}\right.$，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．
（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程$1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}=k|x|$只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．

解答 解：（1）由初等函数性质知，$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$在[0，+∞）上单调递减，
而$xf（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}=\frac{（x+1）-1}{{\sqrt{1+x}}}=\sqrt{1+x}-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$在[0，+∞）上单调递增，
所以$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$是[0，+∞）上的弱减函数．
（2）不等式化为$a≤\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}≤\frac{a+4}{2}$在x∈[1，3]上恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}a≤{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{min}}\\ \frac{a+4}{2}≥{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{max}}\end{array}\right.$，
而$y=\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}$在[1，3]单调递增，∴$\frac{x}{\sqrt{1+x}}$的最小值为$\frac{1}{2}$，$\frac{x}{\sqrt{1+x}}$的最大值为 $\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a+4}{2}≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，∴a∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
（3）由题意知方程$1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}=k|x|$在[0，3]上有两个不同根，
①当x=0时，上式恒成立；
②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程$1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}=k|x|$只有一解，
根据 $k=\frac{1}{x}（1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}）=\frac{1}{x}•\frac{{\sqrt{1+x}-1}}{{\sqrt{1+x}}}=\frac{1}{x}•\frac{x}{{\sqrt{1+x}•（\sqrt{1+x}+1）}}=\frac{1}{{{{（\sqrt{1+x}）}^2}+\sqrt{1+x}}}$，
令$t=\sqrt{1+x}$，则t∈（1，2]，
方程化为$k=\frac{1}{{{t^2}+t}}$在t∈（1，2]上只有一解，所以$k∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题主要考查新定义，函数的单调性的应用，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．