Question

已知对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax（a∈R）的切线．
（I）求a的取值范围；
（II）求证在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得成立．

Answer 1

解：（I）f'（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是y=f（x）的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），-1＜-3a，实数a的取值范围是；
（II）证明：在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得成立等价于当x∈[-1，1]时，，
设g（x）=|f（x）|，g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，故只要证明当x∈[0，1]时，，
①当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，g（x）=f（x），；
②当，，列表：

f（x）在上递减，在上递增，
∵，
∴时，g（x）=-f（x），时，g（x）=f（x），
∴，
若，即，则
若，即，则；
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得成立．
分析：（I）求出f（x）导函数的值域，由直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax的切线得到-1不属于导函数的值域，得到关于a的不等式，求出解集得到a的取值范围即可；
（II）要证的问题等价于当x∈[-1，1]时，，设g（x）=|f（x）|，g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，故只要证明当x∈[0，1]时，，分a小于等于0和a大于0小于两种情况，讨论f'（x）的正负化简绝对值并得到函数的增减区间，根据函数的增减性分别求出|f（x）|的最小值比大得证．
点评：此题是一道综合题，要求学生会利用导数求曲线上某点切线方程的斜率，掌握不等式恒成立时所取的条件以及导数在最值问题中的应用．