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(2012•台州模拟)已知函数f(x)=log2(ax2+2x-3a).
(Ⅰ)当a=-1时,求该函数的定义域和值域;
(Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)当a=-1时,f(x)=log2(ax2+2x-3a),令-x2+2x+3>0,解得-1<<x<3,可得函数f(x)的定义域,确定真数的范围,可得函数f(x)的值域;
(2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x-3a-2≥0在区间[2,3]上恒成立,分离参数,构造函数,确定函数的最值,即可得到a的取值范围.
解答:解:(1)当a=-1时,f(x)=log2(ax2+2x-3a).
令-x2+2x+3>0,解得-1<x<3
所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则0<t≤4
所以f(x)=log2t≤log24=2
因此函数f(x)的值域为(-∞,2](6分)
(2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x-3a-2≥0在区间[2,3]上恒成立
由ax2+2x-3a-2≥0且x∈[2,3]时,x2-3>0,得a≥
2-2x
x2-3

h(x)=
2-2x
x2-3
,则h′(x)=
2x2-4x+6
(x2-3)2
>0

所以h(x)在区间[2,3]上是增函数,所以h(x)max=h(3)=-
2
3

因此a的取值范围是[-
2
3
,+∞).(12分)
点评:本题考查函数的定义域与值域,考查恒成立问题,解题的关键是分离参数,确定函数的最值,属于中档题.
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1
2
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1
2
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1
2
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2
5
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24
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a
|=|
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|=|
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+
b
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a
-
b
b
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