Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）在线段AA₁上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

Answer 1

【答案】分析：（1）以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进而可表示向量，利用向量的数量积可求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由=0可建立方程，从而得解．
解答：解：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC=．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）
因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=，
从而B（0，0，0），A（，0，0），C（0，，0），
B₁（0，0，3），A₁（，0，3），C₁（0，，3），D（，，3），E（0，）．
所以，
而，且
所以cosθ=…（5分）
所以直线BE与A₁C所成的角的余弦为．…（6分）
（2）设AF=x，则F（，0，x），，，…（8分）
，
所以⊥，…（9分）
要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由=2+x（x-3）=0，有x=1或x=2，…（11分）
故当AF=1，或AF=21时，CF⊥平面B₁DF．…（12分）
点评：本题的考点是用空间向量求直线间的夹角与距离，主要考查线线角及线面垂直问题，关键是构建空间直角坐标系，利用向量的数量积求解．