Question

已知函数f（x）对任意的实数x₁＜x₂都有f（x₁）＜f（x₂），a，b∈R对于命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）有下列结论：①此命题的逆命题为真命题；②此命题的否命题为真命题；③此命题的逆否命题为真命题；④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题．其中正确结论的个数为（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：由已知条件得函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．我们可以先判断否命题的真假，然后根据互为逆否的两个命题的真假性相同，可以得到其逆命题的真假；然后同理得出其逆否命题也是真命题，最后再对照题中的几个选项，可得出正确结论的个数．

解答：解：先证其否命题：
“若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”为真．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
结合函数在（-∞，+∞）上是增函数，得f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
所以f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命题：“若（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”也为真．
同理，其原命题与逆否命题也是真命题．
所以正确选项为①②③，3个
故选C

点评：本题考察的知识点是四种间的逆否关系及四种命题，属于基础题．抓住原命题与其逆否命题等价和逆命题与否命题等价这两组等价的关系，是解决本题的关键．