Question

【题目】已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则___.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据对称性和中位线判断为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设根据得到，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得的值.

由于点关于直线对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为,画出图像如下图所示，由于是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直角三角形，且为短轴的端点，故离心率.不妨设，则椭圆方程化为，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得.设，则①，②.由于，故③.解由①②③组成的方程组得，即.

故填：（1）；（2）.