Question

7．若cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，则$\frac{{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}}{1+tanα}$的值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． $-\frac{5}{18}$
• D． $-\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，化简要求的式子，把已知条件平方求得sinαcosα的值，代入要求的式子化简．

解答 解：∵$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α）+1=sin2α-cos2α+1=sin2α+2sin²α，
∴原式=$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{\frac{cosα+sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα+2si{n}^{2}α}{sinα+cosα}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{sinα+cosα}$=2sinαcosα．
又∵sina+cosa=$\frac{2}{3}$，∴1+2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．
∴原式=-$\frac{5}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，式子的变形是解题的难点和关键．