Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$．
（1）证明f（x）为偶函数；
（2）若不等式k≤xf（x）+$\frac{1}{x}$在x∈[1，3]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]（m＞0，n＞0）时，函数g（x）=tf（x）+1，（t≥0）的值域为[2-3m，2-3n]，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义判断函数的奇偶性，先求定义域，再判断f（-x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=f（x）；
（2）直接求右表达式的最小值即可；
（3）得出g（x）=tf（x）+1=t（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）+1 （t≥0）在x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]上递增，可得出g（$\frac{1}{m}$）=2-3m，g（$\frac{1}{n}$）=2-3n，
构造一方程m，n是t（1-x²）=2-3x的两个不相等的正跟，利用二次函数和韦达定理得出t的范围．

解答 （1）证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
∵f（-x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（2）k≤xf（x）+$\frac{1}{x}$=x在x∈[1，3]上恒成立，
∴k≤1；
（3）g（x）=tf（x）+1=t（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）+1 （t≥0）在x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]上递增，
∴g（$\frac{1}{m}$）=2-3m，g（$\frac{1}{n}$）=2-3n，
∴t（1-m²）+1=2-3m，t（1-n²）+1=2-3n，
∴m，n是t（1-x²）+1=2-3x的两个不相等的正跟，
∴tx²-3x+1-t=0（t＞0），
∴△=9-4t（1-t）＞0，
$\frac{3}{t}$＞0，
$\frac{1-t}{t}$＞0，
∴0＜t＜1．

点评 考查了奇偶性的判断和恒成立问题的转换，利用构造方程的思想，通过韦达定理得出参数t的范围．