Question

已知函数，
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f（x）的定义域可令分母2^x+1≠0求解，对函数的解析式进行变化，判断出值域即可值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明，本函数是一个奇函数，由定义法证明即可；
（3）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明，由解析式可以看出本函数在（0，+∞）是一个减函数，可由复合函数的单调性的判断方法判断证明即可．
解答：解：（1）令分母2^x+1≠0解得x≠0，故定义域为R
函数的解析式可以变为 ，由于2^x+1＞1，故 1＞＞0
故2＞＞0
∴的取值范围是（-1，1）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
 ，故是一个奇函数．
（3）先证f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下
由于 ，在（0，+∞）上，2^x+1递增且函数值大于0，
在（0，+∞）上是减函数，故，在（0，+∞）上是增函数，
又因为f（x）是奇函数，且f（0）=0，所以f（x）在（-∞，+∞）是一个增函数．
点评：本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法．