Question

8．若AB是过椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1中心的弦，F₁为椭圆的焦点，则△F₁AB面积的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 24
• D． 48

Answer 1

分析 设直线AB的方程为：y=kx，与椭圆方程联立，解得A，B的纵坐标．利用△FAB面积S=$\frac{1}{2}$|OF|•|x₁-x₂|即可得出．

解答 解：设直线AB的方程为：y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1}\end{array}\right.$，
化为（25+16k²）x²=400，
解得x=±$\frac{20}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$．
∴△FAB面积S=$\frac{1}{2}$|OF|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{40}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$≤12，
当k=0即AB为椭圆的短轴时，△FAB面积取得最大值12．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立解得交点、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．