Question

【题目】如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．
（1）求证：VD∥平面EAC；
（2）求二面角A﹣VB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由正视图可知：平面VAB⊥平面ABCD

连接BD交AC于O点，连接EO，

由已知得BO=OD，VE=EB

∴VD∥EO

又VD平面EAC，EO平面EAC

∴VD∥平面EAC；

（2）证明：设AB的中点为P，则VP⊥平面ABCD，建立如图所示的坐标系，

则 =（0，1，0）

设平面VBD的法向量为

∵

∴由 ，可得 ，∴可取 =（ ， ，1）

∴二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ= =

【解析】（1）欲证VD∥平面EAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可，而连接BD交AC于O点，连接EO，由已知易得VD∥EO，VD平面EAC，EO平面EAC，满足定理条件；（2）设AB的中点为P，则VP⊥平面ABCD，建立坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．