Question

11．设函数f（x）=e^x-$\frac{ax}{x+1}$（x＞-1）．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，设f（x）在x=x₀处取得最小值，求证：f（x₀）＜1．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减；
（2）当a＞0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f′（x₀）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=e^x（-x²-x+1），（x＞-1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）＜g（0）=0，即可证明f（x₀）＜1．

解答 解：（1）当a=1时，f′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
∵e^x单调递增，-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$（x＞-1）单调递增，
∴f′（x）在（-1，+∞）单调递增，且f′（0）=0，
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；   
（2）证明：当a＞0时，f′（x）=e^x-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
∵e^x单调递增，-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$（x＞-1）单调递增，
∴f′（x）在（-1，+∞）单调递增．
又f′（2$\sqrt{a}$-1）=${e}^{2\sqrt{a}-1}$-$\frac{a}{{（2\sqrt{a}）}^{2}}$＞$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{4}$，
当x满足-1＜x＜$\sqrt{a}$时，f′（x）＜0，故f′（x）存在唯一零点，设零点为x₁，
当x∈（-1，x₁）时，f′（x）＜0；当x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-1，x₁）单调递减，在（x₁，+∞）单调递增，
∴当x=x₁时，f（x）取得最小值，由条件可得x₁=x₀，f（x）的最小值为f（x₀）．
由于f′（x₀）=e ^x₀-$\frac{a}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$=0，
∴a=e^x₀•（x₀+1）²，
f（x₀）=e^x₀-$\frac{{ax}_{0}}{{x}_{0}+1}$=e^x₀-e^x₀•x₀•（x₀+1）=e^x₀（-x₀²-x₀+1），
设g（x）=e^x（-x²-x+1），（x＞-1），
则g′（x）=e^x（-x²-3x）=-x（x+3）e^x，
令g′（x）＞0，得-1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，
故g（x）在（-1，0）单调递增，（0，+∞）单调递减，g（x）＜g（0）=0，
故f（x₀）=g（x₀）＜1．

点评 本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，并会根据导数求函数的单调性，考查分析和计算能力，属于难题．