Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{

bn

2n

}为等差数列，并求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=s₁=2¹-1=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
a₁=1适合通项公式a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-2b_n=8a_n，
∴b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=2，又

b1

21

=1，
∴{

bn

2n

}是首项为1，公差为2的等等差数列．
∴

bn

2n

=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=（2n-1）×2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-6-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．