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    已知函数f(x)=sin(2x-
    π
    6
    )+2cos2x-1  (x∈R)    ．
    （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
    （Ⅱ）△ABC的三边a，b，c中，已知ac=2，且f(
    B
    2
    )=1    ，求
    AB
    •
    BC
    的值．
    分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin(2x+
    π
    6
    )    ，由-
    π
    2
    +2kπ≤2x+
    π
    6
    ≤
    π
    2
    +2kπ (k∈z)    求得x得范围，即可得到f（x）的单调递增区间．
    （Ⅱ） 由（Ⅰ）得，f(
    B
    2
    )=sin(B+
    π
    6
    )=1    ，求得B的值，可得＜
    AB
    ，
    BC
    ＞=π-B    的值，再由两个向量的数量积的定义求得
    AB
    •
    BC
    的值．
    解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin(2x-
    π
    6
    )+2cos2x-1 =
    		3
    2
    sin2x-
    1
    2
    cos2x+cos2x    =
    		3
    2
    sin2x+
    1
    2
    cos2x=sin(2x+
    π
    6
    )    ．
    由-
    π
    2
    +2kπ≤2x+
    π
    6
    ≤
    π
    2
    +2kπ (k∈z)    得，-
    π
    3
    +kπ≤x≤
    π
    6
    +kπ (k∈z)    ，
    故f（x）的单调递增区间是[-
    π
    3
    +kπ ，  
    π
    6
    +kπ] (k∈z)    ．
    （Ⅱ） 由（Ⅰ）得，f(
    B
    2
    )=sin(B+
    π
    6
    )=1    ，
    ∵0＜B＜π，∴B=
    π
    3
    ，∴＜
    AB
    ，
    BC
    ＞=π-B=
    2π
    3
    ，又ac=2，
    ∴
    AB
    •
    BC
    =cacos＜
    AB
    ，
    BC
    ＞=-1    ．
    点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求正弦函数的增区间，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （附加题）
    （Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
    ①若m=2，则l=4
    ②若m=-
    1
    2
    ，则
    1
    4
    ≤l≤1
    ③若l=
    1
    2
    ，则-
    		2
    2
    ≤m≤0    ④若m=1，则S={1}，
    其中正确的结论为
    ②③④
    ②③④
    ．
    （Ⅱ）已知函数f(x)=x+
    a
    x
    +b(x≠0)    ，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
    1
    2
    ，2]    ，f（x）≤10在x∈[
    1
    4
    ，1]    上恒成立，则b的取值范围为
    （-∞，
    7
    4
    ]
    （-∞，
    7
    4
    ]
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
    记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
    （Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
    （Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
    （Ⅲ）已知函数f(x)=
    3x
    3n
    （其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
    数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
    2009
    2010
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
    π
    6
    )+2sin2
    x
    2
    ．
    （I）求函数f（x）的单调递增区间；
    （II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
    3
    2
    ，△ABC的面积S=
    		3
    2
    ，a=
    		3
    ，求b+c的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
    		3
    2
    sinxcosx-
    3
    2
    sin2x+
    3
    4
    ．
    （Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
    （Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
    		3
    ，b=2    ，求△ABC的面积S．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
    x2
    1+x
    ．
    （Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
    （Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
    x2
    1+x
    ；
    （Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
    1
    n
    )n+a    所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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