Question

f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

7

．

Answer 1

分析：由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x），再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间上的零点个数，注意找全零点，不能漏掉．

解答：解：由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x）
由于f（2）=0，
若x∈（0，6），则可得出f（5）=f（2）=0，
又根据f（x）为奇函数，则f（-2）=-f（2）=0，
又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，
从而f（3）=f（0）=0，在f（x+3）=f（x）中，
令x=-

3

2

，得出f(-

3

2

)=f(

3

2

)，
又根据f（x）是定义在R上的奇函数，得出f(-

3

2

)=-f(

3

2

)，
从而得到f(

3

2

)=-f(

3

2

)，即f(

3

2

)=0，
故f(

9

2

)=f(

3

2

+3)=f(

3

2

)=0，
从而f(

9

2

)=f(

3

2

)=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，共7个解
故答案为：7

点评：本题考查抽象函数的求值问题，考查函数周期性的定义，函数奇偶性的运用，把握住函数零点的定义是解决本题的关键．