Question

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱BB₁与底面成60．角，AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥侧面BCC₁B₁于P，且A₁Q⊥B₁C₁，AB=AC，AQ=3，AP=2则顶点A到棱B₁C₁的距离是    ．

Answer 1

【答案】分析：取B₁C₁的中点D，连接A₁D，PD，先证A、P、D、Q四点共圆，根据余弦定理求出PQ，再根据正弦定理求出直径AD，最后证明AD为顶点A到棱B₁C₁的距离，即可得到结论．
解答：解：取B₁C₁的中点D，连接A₁D，PD
∵侧棱BB₁与底面成60°，A₁A∥BB₁
∴∠AA₁D=60°
而AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥侧面BCC₁B₁于P
∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60°
∴A、P、D、Q四点共圆
则AD为圆的直径
根据余弦定理可知PQ=
再根据正弦定理可知2R==
∵B₁C₁⊥面AQD，AD?面AQD
∴B₁C₁⊥AD
则AD为顶点A到棱B₁C₁的距离
∴顶点A到棱B₁C₁的距离为
故答案为：
点评：本题主要考查了点到线的距离，以及正弦定理和余弦定理的应用，同时考查了推理论证的能力，转化与划归的思想，属于中档题．