Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+

3

cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，且满足f（-x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ+

π

3

），由最小正周期为π，可求ω，由f（-x）=f（x），且|φ|＜

π

2

，可解得φ，由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间．

解答： 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）+

3

cos（ωx+φ）=2sin[（ωx+φ）+

π

3

]=2sin（ωx+φ+

π

3

），最小正周期为π，
∴ω=

2π

π

=2，
∵f（-x）=f（x），
∴可得：φ+

π

3

=kπ，k∈Z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴解得：φ=-

π

3

，
∴f（x）=2sin2x，
∴由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z
故答案为：[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．