Question

ω是正实数，设S_ω={θ|f（x）=sin[ω（x+θ）]是偶函数}，若对每个实数a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超过2个，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2个元素，则ω的取值范围是

（π，2π]

．

Answer 1

分析：依题意，ωθ=kπ+

π

2

（k∈Z）?θ=

kπ

ω

+

π

2ω

（k∈Z），于是相邻两θ的距离为

π

ω

，依题意

1

2

≤

π

ω

＜1，从而可得ω的取值范围．

解答：解：要使f（x）=sin[ω（x+θ）]是偶函数，则ωθ=

π

2

+kπ，k∈Z，∴θ=

π

2ω

+

kπ

ω

（k∈Z），
∴相邻两θ的距离为

π

ω

．
∵S_ω∩（a，a+1）的元素不超过2个，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2个元素，
∴

1

2

≤

π

ω

＜1．
∴1＜

ω

π

≤2．
∴π＜ω≤2π．
∴ω的取值范围是（π，2π]．
故答案为：（π，2π]．

点评：本题考查正弦函数的奇偶性，考查交集及其运算，得到

1

2

≤

π

ω

＜1是关键，突出考查抽象思维与逻辑思维，属于难题．