【题目】已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)见详解;(2)
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)根据(1)的单调性的讨论,分析函数极值的正负,以及极限的思想,确定零点的个数.
解:(1)由题,
(i)当时,,
时,,单调递减,
时,,单调递增;
(ii)当时,
时,,
,函数单调递增,
时,,
,函数单调递减,
时,,
,函数单调递增;
(iii)当时,恒成立,
函数单调递增;
(iv)当时,
时,,函数单调递增,
时,,函数单调递减,
时,,函数单调递增;
(2)(i)当时,有唯一零点
,不符合题意;
由(1)知:
(ii)当时,单调递增,
时,;时,;
则仅有唯一零点,不符合题意;
(iii)当时,
时,函数单调递减,
时,函数单调递增,
时,;时,,
必有两个零点;
(iv)当,
时,函数单调递增,
时,函数单调递减,
时,函数单调递增,
,
,
函数至多有一个零点;
(v)同理可知,时,函数至多有一个零点.
综上所述:当时,函数有两个零点.
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点的对应点分别为.
(1)如图①,当点落在边上时,求点的坐标;
(2)如图②,当点落在线段上时,与交于点.
①求证;②求点的坐标.
(3)记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围(直接写出结果即可).
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【题目】某公司要了解某商品的年广告费(单位:万元)对年销售额(单位:万元)的影响,对近4年的年广告费和年销售额数据作了初步调研,得到下面的表格:
年广告费/万元 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年销售额/万元 | 26 | 39 | 49 | 54 |
用广告费作解释变量,年销售额作预报变量,且适宜作为年销售额关于年广告费的回归方程类型.
(1)根据表中数据,建立关于的回归方程.
(2)已知商品的年利润与,的关系式为,根据(1)中的结果,估计年广告费为何值时(小数点后保留两位),年利润的预报值最大?
(对于数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,).
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【题目】已知抛物线,点.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若抛物线与轴的交点为,连接,并延长交抛物线于点,求证:;
(3)将抛物线作适当的平移,得抛物线,若时,恒成立,求得最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是 (为参数),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于, 两点,与轴交于点,求.
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