Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：连接BD．

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD∥B1D1 ．
又因为E、F为棱AD、AB的中点，
所以EF∥BD．
所以EF∥B1D1 ．
又B1D1平面CB1D1 ， EF平面CB1D1 ，
所以EF∥平面CB1D1 ．
（Ⅱ）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
AA1⊥平面A1B1C1D1 ， 而B1D1平面A1B1C1D1 ，
所以AA1⊥B1D1 ．
又因为A1C1⊥B1D1 ，
所以B1D1⊥平面CAA1C1 ．
又因为B1D1平面CB1D1 ，
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．
【解析】（Ⅰ）欲证EF∥平面CB1D1 ， 根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1 ， 又B1D1平面CB1D1 ， EF平面CB1D1 ， 满足定理所需条件；（Ⅱ）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ， 根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， B1D1平面A1B1C1D1 ， 则AA1⊥B1D1 ， A1C1⊥B1D1 ， 满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1 ， 而B1D1平面CB1D1 ， 满足定理所需条件．