Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，，Sn＝n2an－n(n－1)，n＝1，2，…

(1)证明：数列{Sn}是等差数列，并求Sn；

(2)设，求证 ：b1＋b2＋…＋bn＜1．

Answer 1

【答案】(1)． (2) 见解析．

【解析】试题分析：(1)在已知递推式式中，利用，化简可得，故而可证得结论；(2)利用裂项相消法求其前项和即可.

试题解析：(1)由Sn＝n2an－n(n－1)知，

当n≥2时Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)，

即(n2－1)Sn－n2Sn－1＝n(n－1)，∴Sn－Sn－1＝1，对n≥2成立．

又S1＝1，∴{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．

Sn＝1＋(n－1)·1 ，∴Sn＝．

(2)bn＝＝＝－．

∴b1＋b2＋……＋bn＝1－＋－＋…－＝1－＜1．