Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-(3a+1)

＜0}，B={x|

x-a2-2

x-a

＜0}．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求（?_UB∩A）；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出集合A、B，再求出C_U^B，借助数轴求出，（C_U^B）∩A．
（Ⅱ）由题意知，p?q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a²+2}．对于集合A，其解集的端点是 3a+1和2，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

2

时A={x|2＜x＜

5

2

}，B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}，（2分）
C_U^B={x|x≤

1

2

或x≥

9

4

}，（C_U^B）∩A={x|

9

4

≤x＜

5

2

}．（4分）
（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p?q，可知A⊆B．（6分）
由a²+2＞a，得 B={x|a＜x＜a²+2}．（8分）
①当3a+1＞2，即a＞

1

3

时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由

a≤2 a2+2≥3a+1

，解得

1

3

＜a≤

3- 5

2

．
②当3a+1=2，即a=

1

3

时，A=∅，不符合题意；
③当3a+1＜2，即a＜

1

3

时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由

a≤3a+1 a2+2≥2

，解得 -

1

2

≤ a ＜

1

3

．
综上，a∈[-

1

2

，

1

3

)∪(

1

3

 ，

3- 5

2

]．（12分）

点评：本题考查2个集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），
体现了分类讨论的数学思想．