【题目】已知函数,其中.
(1)讨论函数零点的个数;
(2)若不等式在区间()上的解集为非空集合,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先求定义域,再求导,对a进行分类讨论,然后根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间. (2)由题意可得在上存在使 成立,即求的最小值小于等于,对a进行分类讨论,求出的最值,即可解出a的范围.
(1)函数的定义域为,
①当,即时,
∵,
∴,在上单调递增,
②当,即时,可知函数在上单调递减,在上单调递增,
此时的最小值为
若,即时,恒大于0,此时函数没有零点;
若,即时,函数有一个零点;
若,即时,函数有两个零点.
综上可知,当时,函数没有零点;
当时,函数有一个零点;
当时,函数有两个零点.
(2)由(1)可知,当时,
函数在上单调递增,
所以只需要,
即,显然成立,
∴;
当,即时,
函数在上单调递减,此时需要,
即,不等式无解;
当,即时,
在上单调递增,所以只需要,
即,显然成立,
∴;
当,即时,
在上单调递减,在上单调递增,
此时只需,解得.
综上可知实数的取值范围为.
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【题目】如图,四棱锥中, 为等边三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】【试题分析】(I) 取的中点为,连接,.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明:(Ⅰ)取的中点为,连接,,
∵为等边三角形,∴.
底面中,可得四边形为矩形,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴.
又,所以.
(Ⅱ)由面面,,
∴平面,所以为棱锥的高,
由,知,
,
∴.
由(Ⅰ)知,,∴.
.
由,可知平面,∴,
因此.
在中,,
取的中点,连结,则,,
∴ .
所以棱锥的侧面积为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知圆经过椭圆: 的两个焦点和两个顶点,点, , 是椭圆上的两点,它们在轴两侧,且的平分线在轴上, .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:直线过定点.
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【题目】某校高三统考结束后,分别从喜欢数学和不喜欢数学的学生中各随机抽取了10人的成绩,分数都是整数,得到如下茎叶图,但是喜欢数学和不喜欢数学的各缺失了一个数据.若已知不喜欢数学的10人成绩的中位数为75,且已知喜欢数学的10人中所缺失成绩是85分以上,但是不高于喜欢数学的10人的平均分.不喜欢数学和喜欢数学缺失的数据分别是____,____.
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【题目】为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长.
(1)写出第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式,并指出函数的定义域
(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据,)
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【题目】已知,命题方程表示焦点在轴上的椭圆,命题方程表示双曲线.
(1)若命题是真命题,求实数的范围;
(2)若命题“或”为真命题,“且”是假命题,求实数的范围.
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.
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【题目】某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).
(1)求这种商品的日销售金额的解析式;
(2)求日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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