Question

已知变量t，y满足关系式loga

t

a3

=logt

y

a3

，a＞0且a≠1，t＞0且t≠1，变量t，x满足关系式t=a^x，变量y，x满足函数关系式y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在[2a，3a]上具有单调性，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把t=a^x代入loga

t

a3

=logt

y

a3

中，利用对数恒等式化简得x-3=logt

y

a3

，利用对数和指数的互化以及指数的运算性质，即可求得y=f（x）的表达式．
（2）f（x）=ax2-3x+3（（x≠0）=a(x-

3

2

)2+

3

4

（x≠0），由f（x）在[2a，3a]上具有单调性，得3a≤

3

2

或2a≥

3

2

，解出即可；

解答：解：（1）由loga

t

a3

=logt

y

a3

，得logat-logaa3=logt

y

a3

，
又t=a^x，∴logaax-3=logt

y

a3

，即x-3=logt

y

a3

，
∴

y

a3

=t^x-3=（a^x）^x-3=ax2-3x，
∴y=a³ax2-3x=ax2-3x+3（x≠0），
故y=f（x）=ax2-3x+3（x≠0）；
（2）∵f（x）=ax2-3x+3（x≠0）=a(x-

3

2

)2+

3

4

（x≠0），且f（x）在[2a，3a]上具有单调性，
∴3a≤

3

2

或2a≥

3

2

，解得a≤

1

2

或a≥

3

4

且a≠1，
故实数a的取值范围是：（0，

1

2

]∪[

3

4

，1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查对数的运算法则和指数与对数的互化、复合函数的单调性等基础知识，注意函数的定义域，考查了运算能力．