Question

已知函数f(x)=x3-x2+ax-a(a∈R).

(1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.

(2)若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.

 

Answer 1

(1) 当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,

当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2) (0,+∞)

【解析】(1)当a=-3时,f(x)=x3-x2-3x+3.

f'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.

当x<-1时,f'(x)>0,

则函数在(-∞,-1)上是增函数,

当-1<x<3时,f'(x)<0,

则函数在(-1,3)上是减函数,

当x>3时,f'(x)>0,

则函数在(3,+∞)上是增函数.

所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,

当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2)因为f'(x)=x2-2x+a,

所以Δ=4-4a=4(1-a).

①当a≥1时,则Δ≤0,∴f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.

f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.

②a<1时,则Δ>0,∴f'(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x1<x2),∴x1+x2=2,x1·x2=a,

则

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵-2x1+a=0,∴a=-+2x1,

∴f(x1)=-+ax1-a

=-+ax1+-2x1

=+(a-2)x1

=x1[+3(a-2)],

同理f(x2)=x2[+3(a-2)].

∴f(x1)·f(x2)=x1x2[+3(a-2)][+3(a-2)]=a(a2-3a+3).

令f(x1)·f(x2)>0,解得a>0.

而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.

故0<a<1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.

综上所述,a的取值范围是(0,+∞).