Question

已知函数f（x）=ax²-bx+c（a＞0，b、c∈R），曲线y=f（x）经过点P（0，2a²+8），且在点Q（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，设g（x）=（f（x）-16）•e^-x．
（1）用a分别表示b和c；（2）当

c

b

取得最小值时，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）将P的坐标代入函数f（x）得到a，c的关系，求出导函数在x=-1处的值即切线的斜率，令其为0得到a，b的关系．
（2）将（1）中的关系代入

c

b

得到关于a的函数，利用基本不等式求出最小值，求出等号成立时a的值，代入g（x）；求出g（x）的导数，令导数大于0求出x范围即为函数的定义域．

解答：解：（1）∵经过点P（0，2a²+8），
∴c=2a²+8；
由切线垂直于y轴可知f′（-1）=0，从而有-2a+b=0，
∴b=2a
（2）因为a＞0从而

c

b

=

2a2+8

2a

=a+

4

a

≥2

a• 4 a

=4，
当且仅当a=

4

a

，即a=2时取得等号．
∴f（x）=2x²+4x+16；g（x）=（2x²+4x）e^-x
∴g′（x）=e^-x（4-2x²）
因为e^-x＞0
∴g′（x）＞0时g（x）为单调递增函数，即(-

2

，

2

)为单调递增区间

点评：利用基本不等式求函数的最值时，一定注意基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等；导数在切点处的导数值为切线的斜率．