【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB= ,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
【答案】
(1)解:在△ABC中,由于AB= ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°,
直角三角形PBC中,若PB= ,∵cos∠PBC= = = ,∴∠PBC=60°.
∴∠PBA=∠ABC﹣∠PBC=90°﹣60°=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2= = ,∴PA=
(2)解:设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理得, ,
化简得, ,∴tanα= ,即tan∠PBA=
【解析】(Ⅰ)由题意利用直角三角形中的边角关系求得∠PBC=60°,∠PBA=∠ABC﹣∠PBC=30°.在△PBA中,由余弦定理求得PA的值.(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理求得tanα的值.
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义,掌握正弦定理:即可以解答此题.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,直线PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=4BE=4.
(I)求证:直线DE⊥平面PAC.
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为 (n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
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【题目】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A. 289 B. 1 024 C. 1 225 D. 1 378
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0且0<x<c时,f(x)>0,
(1)证明:是f(x)=0的一个根;
(2)试比较与c的大小;
(3)证明:-2<b<-1.
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【题目】已知抛物线的焦点F,C上一点到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l,交C于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为,求直线l的方程.
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【题目】已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,给出如下命题:
①0是函数y=f(x)的一个极值点;
②函数y=f(x)在 处切线的斜率小于零;
③f(﹣1)<f(0);
④当﹣2<x<0时,f(x)>0.
其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)
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