Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ） 求证：B₁D₁⊥AE；
（Ⅱ） 求证：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BD，则BD∥B₁D₁．在ABCD是正方形中，AC⊥BD，结合CE⊥BD，可以证出BD⊥面ACE，从而得到BD⊥AE，利用平行线的性质得到B₁D₁⊥AE．
（II）取BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．可以证出四边形B₁FCE是平行四边形，从而CF∥B₁E；然后再证四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，结合面面平行的判定定理，得到平面ACF∥平面B₁DE． 最后利用面面平行的性质，得到AC∥面B₁DE．

解答：解：（Ⅰ）连接BD，则BD∥B₁D₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．---------------（3分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．---（5分）
（Ⅱ）证明：取BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是C₁C、B₁B的中点，
∴CE∥B₁F且CE=B₁F
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E．
∵正方形BB₁C₁C中，E、F是CC、BB的中点，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B₁DE．  又∵AC?平面ACF，
∴AC∥面B₁DE．------（10分）

点评：本题以正方体为平台，考查证明了线面垂直和线面平行，着重考查了空间直线与平面平行的判定与性质和面面平行的判定与性质等知识，属于基础题．