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【题目】如图,圆台的轴截面为等腰梯形圆台的侧面积为.若点分别为圆上的动点,且点在平面的同侧.

1)求证:

2)若,则当三棱锥的体积取最大值时,求与平面所成角的正弦值.

【答案】1)详见解析;(2.

【解析】

1)根据圆台侧面积公式可以求出上下两底面的半径,根据线面垂直的性质、直角三角形的判断方法进行证明即可;

2)根据三棱锥的体积公式,结合基本不等式确定点位置,建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.

(1)证明:设圆的半径分别为

因为圆台的侧面积为

所以,可得

因此,在等腰梯形中,.

如图,连接线段

在圆台中,平面平面

所以.

所以在中,.

中,

,即.

(2)解:由题意可知,三棱锥的体积为

又在直角三角形中,

所以当且仅当

即点为弧的中点时,有最大值

连接,因为平面

所以以为坐标原点,

分别以的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

可知

设平面的法向量

所以与平面所成角的正弦值为

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【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.

(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)

(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

数学成绩

60

65

70

75

85

87

90

物理成绩

70

77

80

85

90

86

93

①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;

②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?

附:线性回归方程

其中.

76

83

812

526

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【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下:

甲套设备的样本的频率分布直方图

乙套设备的样本的频数分布表

质量指标值

频数

1

6

19

18

5

1

1)根据上述所得统计数据,计算产品合格率,并对两套设备的优劣进行比较;

2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

甲套设备

乙套设备

合计

合格品

不合格品

合计

附:

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

参考公式:,其中

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【题目】改革开放以来,中国快递行业持续快速发展,快递业务量从上世纪年代的万件提升到2018年的亿件,快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于)收费元,续重(不足). (:一个包裹重量为则需支付首付元,续重元,一共元快递费用)

1)若你有三件礼物重量分别为,要将三个礼物分成两个包裹寄出(:合为一个包裹,一个包裹),那么如何分配礼物,使得你花费的快递费最少?

2)对该快递点近天的每日揽包裹数(单位:)进行统计,得到的日揽包裹数分别为件,件,件,件,件,那么从这天中随机抽出天,求这天的日揽包裹数均超过件的概率.

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【题目】改革开放以来,中国快递行业持续快速发展,快递业务量从上世纪年代的万件提升到2018年的亿件,快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于)收费元,续重(不足). (:一个包裹重量为则需支付首付元,续重元,一共元快递费用)

1)若你有三件礼物重量分别为,要将三个礼物分成两个包裹寄出(:合为一个包裹,一个包裹),那么如何分配礼物,使得你花费的快递费最少?

2)为了解该快递点2019年的揽件情况,在2019年内随机抽查了天的日揽收包裹数(单位:),得到如下表格:

包裹数(单位:)

天数()

现用这天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取天,记这天中日揽收包裹数超过件的天数为随机变量的分布列和期望

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1)求直线与平面所成角的正弦值;

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