Question

（本题满分12分）已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线的距离为，若x=时，y=f(x)有极值.

（1）求a、b、c的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求y=f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值.

Answer 1

解析:（1）由f(x)=x³+ax²+bx+c，得f^/(x)=3x²+2ax+b

当x=1时，切线的斜率为3，可得2a+b=0                        

当x=时，y=f(x)有极值，则f^/（）=0，可得4a+3b+4=0          ‚

由‚解得a=2,b=－4

设切线的方程为y=3x+m

原点到切线的距离为，

解得m=1

切线不过第四象限     m=1

由于切点的横坐标为x=1,f（1）=4

1+a+b+c=4     c=5          ………………………………………………（6分）

由（1）可得f(x)=x³+2x²－4x+5   f^/(x)=3x²+4x－4

令f^/(x)=0得x=－2,x=

x	[－3,－2)	－2	(－2,)		(,1]
f/(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

f(x)在x=－2处取得极大值f(－2)=13,在x=处取得极小值f()=

又f(－3)=8,f(1)=4

f(x)在[－3,1]的最大值为13，最小值为.…………………………………（12分）