Question

已知离心率为的椭圆C的中心在坐标原点O，一焦点坐标为（1，0），圆O的方程为x²+y²=7．
（1）求椭圆C的方程，并证明椭圆C在圆O内；
（2）过椭圆C上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O相交于点A，C，l₂与圆O相交于点B，D（如图），求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可设椭圆C的方程为，利用离心率为的椭圆的焦点坐标为（1，0），即可求椭圆C的方程；设P（x，y）是椭圆C上的任意一点，到圆心的距离小于半径即可知椭圆C在圆O内
（2）设椭圆C上的动点P（x，y）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂．则，，，求出的最小值，即可求得四边形ABCD的面积的最大值．
解答：解：（1）由题意可设椭圆C的方程为，
则，，解得，故椭圆C的方程为．
证明：设P（x，y）是椭圆C上的任意一点．
则，，故椭圆C在圆O内

（2）如图，设椭圆C上的动点P（x，y）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂．
则，，
由l₁⊥l₂，得．
则t∈[3，4]，四边形ABCD的面积
当且仅当，t=3时，上式取等号，此时，
即点P（x，y）为．直线l₁，l₂的斜率分别为1，-1或-1，1．
所以四边形ABCD的面积的最大值为11．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的位置关系，考查圆内接四边形的面积，解题的关键是利用基本不等式求解面积的最值，属于中档题．