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    【题目】已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.

    【答案】（1）；（2）见解析.

    【解析】

    （1）根据圆经过椭圆C的上、下顶点，可得，再根据离心率即可求得椭圆方程.

    （2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出的面积，即可得证.

    （1）解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以.

    又离心率，所以，则.

    故椭圆C的方程为.

    （2）证明：椭圆，

    当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为，

    联立，得，即，

    则.

    当直线l的斜率存在时，设，

    联立，得，

    由，可得.

    联立，得.

    设，所以，

    则.

    因为原点到直线l的距离，

    所以.

    综上所述，的面积为定值.

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    x(单位：元)

    30

    40

    50

    60

    y(单位：万人)

    4.5

    4

    3

    2.5

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    (3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．

    参考公式：，.

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    优秀

    合格

    总计

    大学组

    中学组

    总计

    (2)若参赛选手共6万名，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；

    (3)在优秀等级的选手中选取6名，在良好等级的选手中选取6名，都依次编号为1,2,3,4,5,6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b，求使得方程组有唯一一组实数解(x，y)的概率．

    参考公式：，其中.

    参考数据:

    P(K2≥k0)

    0.10

    0.05

    0.01

    k0

    2.706

    3.841

    6.635

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