Question

已知△ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²=2，5a+3b+4c=10，则该三角形最大内角的余弦值为

0

．

Answer 1

分析：将式子5a+3b+4c=10两边都乘以

2

5

，得2a+

6

5

b+

8

5

c=4，再与a²+b²+c²=2作差，化简整理可得（a-1）²+（b-

3

5

）²+（c-

4

5

）²=0，得到△ABC的三边a、b、c的长度，进而利用勾股定理的逆定理得出最大内角的余弦值．

解答：解：∵5a+3b+4c=10，∴两边都乘以

2

5

，得2a+

6

5

b+

8

5

c=4…①
∵a²+b²+c²=2，…②
∴②-①，可得a²+b²+c²-（2a+

6

5

b+

8

5

c）=-2
化简整理，得（a-1）²+（b-

3

5

）²+（c-

4

5

）²=0
因此，a-1=b-

3

5

=c-

4

5

=0，得a=1，b=

3

5

，c=

4

5

∴a²=b²+c²，
∴A=90°且为三角形最大内角
可得三角形最大内角的余弦值为cos90°=0
故答案为：0

点评：本题给出三角形的边满足的条件，求最大角的余弦之值．着重考查了配方法求未知数、余弦定理和直角三角形的判定等知识，属于中档题．