Question

已知函数f（x）满足：对任意x∈R，x≠0，恒f(

1

x

)=x成立，数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，b₁=1，且对任意n∈N^*，均有an+1=

anf(an)

f(an)+2

，bn+1-bn=

1

an

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）对于λ∈[0，1]，是否存在k∈N^*，使得当n≥k时，b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立？若存在，试求k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，在式子f(

1

x

)=x中用

1

x

代替x，可得函数f（x）的解析式；
（2）由f（x）的解析式化简整理，得到

1

an+1

=

1

an

+2，得{

1

an

}构成等差数列，结合题中数据即可求出

1

an

=2n-1，所以a_n=

1

2n-1

．再由bn+1-bn=

1

an

利用累加的方法，结合等差数列求和公式即可算出b_n的表达式；
（3）根据{a_n}、{b_n}的通项公式，将不等式b_n≥（1-λ）f（a_n）化简整理得（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，因此设
g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3为关于λ的一次函数，原不等式恒成立等价于

g(0)≥0 g(1)≥0

，解之可得n≤1或n≥3．
由此可得存在正整数k的最小值为3，满足当n≥k时b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立．

解答：解：（1）∵对任意x∈R，x≠0，恒f(

1

x

)=x成立，
∴用

1

x

代替x，可得f（x）=

1

x

即函数f（x）的解析式为f（x）=

1

x

（x≠0）；
（2）由an+1=

anf(an)

f(an)+2

，可得

1

an+1

=

1

an

+

2

anf(an)

∵a_n•f（a_n）=1，
∴

1

an+1

=

1

an

+2，得数列{

1

an

}构成以1为首项，2为公差的等差数列
可得

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=

1

2n-1

∵bn+1-bn=

1

an

=2n-1
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（1+3+5+…+2n-3）=n²-2n+2
综上所述，{a_n}的通项公式为a_n=

1

2n-1

，{b_n}的通项公式为b_n=n²-2n+2．
（3）对于λ∈[0，1]时，b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立
等价于λ∈[0，1]时，n²-2n+2≥（1-λ）（2n-1）恒成立
即（2n-1）λ+n²-4n+3≥0在λ∈[0，1]时恒成立
设g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，可得

g(0)≥0 g(1)≥0

，
即

n2-4n+3≥0 n 2-2n+2≥0

，解之得n≤1或n≥3．
由此可得存在k∈N^*，使得当n≥k时，b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立，k的最小值为3．

点评：本题给出函数关系式，求数列列{a_n}、{b_n}的通项公式，并讨论不等式恒成立的问题．着重考查了等差数列的通项与求和公式、一次函数的图象与性质和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．