Question

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．
（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．
（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．

解答：解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅰ）C=A•

.

B

+

.

A

•B
P(C)=P(A•

.

B

+

.

A

•B)
=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)
=P(A)•P(

.

B

)+P(A)•P(

.

B

)
=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
（Ⅱ）

.

D

=

.

A

•

.

B

P(

.

D

)=P(

.

A

•

.

B

)
=P(

.

A

)•P(

.

B

)
=0.5×0.4
=0.2
∴P(D)=1-P(

.

D

)=0.8
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），
故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2³=0.008
P（ξ=1）=C₃¹×0.8×0.2²=0.096
P（ξ=2）=C₃²×0.8²×0.2=0.384
P（ξ=3）=0.8³=0.512
所以Eξ=3×0.8=2.4

点评：此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；