Question

（2005•上海）已知z是复数，z+2i，

z

2-i

均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数（z+ai）²，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．

解答：解：设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意得z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又∵

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

2b+a

5

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，
∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＞0

解得a的取值范围为2＜a＜6．

点评：本题考查复数的加减乘除运算及复数的代数形式和几何意义，本题解题的关键是整理出所给的复数的代数形式的标准形式，本题是一个中档题目．