【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论单调性;
(Ⅱ)当时,设函数存在两个零点,求证:.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ),分和两种情况讨论函数的单调性;
(Ⅱ)解法一:由题意可知,两式相减可得,再利用分析法转化为证明要证,只需证,再通过变形,构造,证明只需证即可,,构造函数,利用导数证明.
解法二:由题意可知,再换元令,即,两式相减得,要证,即只需证,即证,再通过变形,构造得到,,,利用导数证明.
解:(1),
当时,,在上单调递增;
当时,令得,在上单调递减,在上单调递增;
(Ⅱ)解法一:由题意知,由得,
两式相减得,因为,故,
要证,只需证,
两边同除以得,
令,故只需证即可.
令,,
令,
当时,,故在上单调递减,
故,故在上单调递增,故,故原命题得证.
【解法二】
由题意知,由得,
令,即,两式相减得,
要证,即只需证,即证,即,即,
令,只需证即可.
令,,
当时,,故在上单调递增,故,因此原不等式成立.
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【题目】设椭圆长轴长为4,右焦点到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过原点的直线交椭圆于两点(不在坐标轴上),连接并延长交椭圆于点,若,求四边形面积的最大值.
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【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切制圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合),已知两个圆锥的底面半径为1,母线长均为,记过圆锥轴的平面ABCD为平面(与两个圆锥面的交线为AC、BD),用平行于的平面截圆锥,该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E的一部分,且双曲线E的两条渐近线分别平行于AC、BD,则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.D.2
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【题目】如图,矩形中,为的中点,将沿直线翻折成,连结,为的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的序号是_______.
①存在某个位置,使得;
②翻折过程中,的长是定值;
③若,则;
④若,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积是.
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【题目】在全面建成小康社会的决胜阶段,让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺.在“脱真贫、真脱贫”的过程中,精准扶贫助推社会公平显得尤其重要.若某农村地区有200户贫困户,经过一年扶贫后,对该地区的“精准扶贫”的成效检查验收.从这200户贫困户中随机抽出50户,对各户的人均年收入(单位:千元)进行调查得到如下频数表:
人均年收入 | ||||||
频数 | 2 | 3 | 10 | 20 | 10 | 5 |
若人均年收入在4000元以下的判定为贫困户,人均年收入在4000元~8000元的判定为脱贫户,人均年收入达到8000元的判定为小康户.
(1)用样本估计总体,估计该地区还有多少户没有脱贫;
(2)为了了解未脱贫的原因,从抽取的50户中用分层抽样的方法抽10户进行调研.
①贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少?
②从被抽到的脱贫户和小康户中各选1人做经验介绍,求小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率.
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【题目】年月日,某地援鄂医护人员,,,,,,人(其中是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地,他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹,让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照,则领导和队长站在两端且相邻,而不相邻的排法种数为( )
A.种B.种C.种D.种
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点,分别是曲线,上两动点且,求面积的最大值.
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