Question

某市为响应国家节能减排，建设资源节约型社会的号召，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：
（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放…
（二）人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气…
活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机对10～60岁的人群抽查了n人，统计结果如下图表：

	广告一		广告二
	回答正 确人数	占本组 人数频率	回答正 确人数	占本组 人数频率
[10，20）	90	0.5	45	a
[20，30）	225	0.75	k	0.8
[30，40）	b	0.9	252	0.6
[40，50）	160	c	120	d
[50，60]	10	e	f	g

（1）分别写出n，a，c，d的值；
（2）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元．组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人45岁，孩子17岁）回答这两则广告的内容，求该家庭获得奖金的期望（各人之间，两则广告之间，对能否正确回答均无影响）．

Answer 1

分析：（1）由题设知：n=1200，a=

1

4

，c=

2

3

，d=

1

2

．
（2）依题意，孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P₁=

1

2

，P₂=

1

4

，大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P₃=

2

3

，P₄=

1

2

，设随机变量ξ表示家庭获得的奖金数，则ξ的可能取值为：0，20，30，40，50，60，70，80，100．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）由题设知：n=1200，a=

1

4

，c=

2

3

，d=

1

2

．
（2）依题意，孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P₁=

1

2

，P₂=

1

4

，
大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P₃=

2

3

，P₄=

1

2

，
设随机变量ξ表示家庭获得的奖金数，
则ξ的可能取值为：0，20，30，40，50，60，70，80，100．
P（ξ=0）=(1-

1

2

)×(1-

1

4

)×(1-

2

3

)(1-

1

2

)=

1

16

，
P（ξ=20）=

1

2

×(1-

1

4

)×(1-

2

3

)× (1-

1

2

)+(1-

1

2

)×(1-

1

4

)×

2

3

×(1-

1

2

)=

3

16

，
P（ξ=30）=(1-

1

2

)×

1

4

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)+(1-

1

2

)×(1-

1

4

)×(1-

2

3

)×

1

2

=

1

12

，
P（ξ=40）=

1

2

×(1-

1

4

)× 

2

3

×(1-

1

2

)=

1

8

，
P（ξ=50）=

1

2

×

1

4

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)+

1

2

×(1-

1

4

)× (1-

2

3

)× 

1

2

+(1-

1

2

)× 

1

4

×

2

3

×(1-

1

2

)+(1-

1

2

)× (1-

1

4

)×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
P（ξ=60）=(1-

1

2

)×

1

4

× (1-

2

3

)×

1

2

=

1

48

，
P（ξ=70）=

1

2

×

1

4

×

2

3

×(1-

1

2

)+

1

2

×(1-

1

4

)×

2

3

× 

1

2

=

1

6

，
P（ξ=80）=

1

2

×

1

4

× (1-

2

3

)×

1

2

+(1-

1

2

)×

1

4

 ×

2

3

× 

1

2

=

1

16

，
P（ξ=100）=

1

2

×

1

4

×

2

3

×

1

2

=

1

24

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	20	30	40	50	60	70	80	100
P	1 16	3 16	1 12	1 8	1 4	1 48	1 6	1 16	1 24

Eξ=0×

1

16

+20×

3

16

+30×

1

12

+40×

1

8

+50×

1

4

+60×

1

48

+70×

1

6

+80×

1

16

+100×

1

24

=

275

6

（元）．

点评：本题考查离散型分布列的数学期望和方差，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．