Question

袋里装由20个球，每个球上都记有1到20的一个号码，设号码为n的球重为f（n）=

1

3

n2-5n+15（克），如果满足f（n）＞n，则称该球为重球．这些球以等可能性（不受重量和号码的影响）从袋里取出．
（1）如果任意取出1球，试求该球为重球的概率；
（2）如果同时任意取出两个球，试求它们重量相等的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是任取1个球，共有20个等可能的结果，满足条件f（n）＞n，解关于n的一元二次不等式，得到n的范围，看出n的个数，得到概率．
（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是任取两个球共有C₂₀²种等可能的取法，满足条件的事件是它们重量相等，写出关于n的方程，根据条件得到n之间的关系，得到符合条件的事件数，得到概率．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是任取1个球，共有20个等可能的结果，
由

1

3

n2-5n+15＞n，
即n²-18n+45＞0，
∴n＜3或n＞15．
因此球的重量大于其号码数的结果为7种，
∴概率为：

7

20

．
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是任取两个球共有C₂₀²=190种等可能的取法．
f（n₁）=f（n₂）（n₁≠n₂），
则

n 12

3

-5n1+15=

n22

3

-5n2+15，
即

1

3

(n1-n2)(n1+n2)=5(n1-n2)．
因为n₁≠n₂，
∴n₁+n₂=15．
由此可见，任取2个球且重量相同的取法有7种，
∴所求概率为：P=

7

C 2 20

=

7

190

．

点评：本题考查古典概型，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，这种问题是以古典概型为载体，实际上考查的是其他的知识点．