Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2。

（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由。

Answer 1

解：（1）∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE。
（2）如图建系C-xyz，
则D（-2，0，0），A（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴，
设平面A₁BE法向量为
则
∴
∴
∴
又∵M（-1，0，），
∴=（-1，0，）
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°。

（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），
则a∈[0，3]
∴，
设平面A₁DP法向量为
则
∴
∴
假设平面A₁DP与平面A₁BE垂直，
则，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0＜a＜3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直。