分析 由平方关系、二倍角的正弦公式化简sinθ+cosθ=k,求出sinθcosθ的表达式,利用立方和公式化简sin3θ+cos3θ,根据sin3θ+cos3θ<0列出不等式并化简,由两角和的正弦公式化简sinθ+cosθ=k,由正弦函数的值域求出k的取值范围,结合原来的不等式求出答案.
解答 解:由sinθ+cosθ=k得,sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=k2,
解得sinθcosθ=$\frac{{k}^{2}-1}{2}$,
∴sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=k(1-$\frac{{k}^{2}-1}{2}$)=$\frac{1}{2}$k(3-k2),
∵sin3θ+cos3θ<0,∴k(3-k2)<0,即k(k2-3)>0,
又k=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin(θ+$\frac{π}{4}$),则$k∈[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$,
∴k2-3<0,∴k<0,
即k的取值范围是$[-\sqrt{2},0)$.
点评 本题考查正弦函数的值域,平方关系、二倍角的正弦公式,以及立方和公式的应用,考查化简、变形能力.
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收看 | 不收看 | 合计 | |
45岁以下 | |||
45岁及以下 | |||
合计 |
P(K2≥k0) | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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