【题目】某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如表:
API | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,300] | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 20 | 15 |
(1)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提
供的统计数据,完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”?
非重度污染 | 严重污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
(2)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x 的关系式为y= 试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望.
参考公式:K2=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【答案】
(1)解:根据题设中的数据得到如下2×2列联表:
非严重污染 | 严重污染 | 总计 | |
供暖季 | 22 | 8 | 30 |
非供暖季 | 63 | 7 | 70 |
总计 | 85 | 15 | 100 |
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得:
K2= ≈4.575.
∵4.575>3.841
∴由95%的把握认为:“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”
(2)解:任选一天,设该天的经济损失为X元,则:
P(X=0)=P(0≤x≤100)=
P(X=400)=P(100<x≤300)= ,
P(X=2000)=P(x>300)=
∴E(X)=0× +400× +2000× =560.
∴该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望为30×E(X)=16800元.
【解析】(1)列出2×2列联表,由公式,得到结果.(2)由分段函数,得到各段的概率,由此得到数学期望.
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【题目】小丽今天晚自习准备复习历史、地理或政治中的一科,她用数学游戏的结果来决定选哪一科,游戏规则是:在平面直角坐标系中,以原点为起点,再分别以, , , , 这5个点为终点,得到5个向量,任取其中两个向量,计算这两个向量的数量积,若,就复习历史,若,就复习地理,若,就复习政治.
(1)写出的所有可能取值;
(2)求小丽复习历史的概率和复习地理的概率.
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【题目】过曲线y=x2(x≥0)上某一点A作一切线l,使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为 ,试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线l的方程.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=BB1=1,B1C=2.
(1)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(2)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值.
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【题目】海中一小岛的周围 内有暗礁,海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东,航行8后,于处测得小岛在北偏东(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南()方向航行,求的最小值.
附:
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【题目】某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图.
(1)求an;
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
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