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(本题满分16分,其中第1小题9分,第2小题7分)

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为),动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.

(1)当时,求点到平面的距离的取值范围;

(2)当时,求向量夹角的大小.

.

(本题满分16分,理科:第1小题9分,第2小题7分;文科:第1小题3分,第2小题6分,第3小题7分)

(理科)解:(1)设BC的中点为D,连结AD、DM,则有

 

于是,可知即为AM与侧面BCC1所成角.

因为,点到平面的距离为,不妨设.

在Rt△ADM中,.

,,故.

而当时,

所以,点到平面的距离的取值范围是.

(2)解法一:当时,由(1)可知,

故可得,.

    设向量的夹角为,因为

   

.故面积的最大为.        .

所以

故向量夹角的大小为.

解法二:如图,以中点O为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在直线为轴(其中点中点),建立空间直角坐标系.

由(1)可知,当时,.

所以有,

,,即.

设向量夹角为,则

故向量夹角的大小为.

解法三:如图,过点//,交.

联结.因为是正三棱柱,故可得.

    当时,由(1)可知,

故可得.

在等腰三角形中,不难求得

,即异面直线所成角为

而图中不难发现,夹角的大小为异面直线所成角的补角,即夹角的大小为.

(文科)解:(1) 为偶函数,恒成立,

恒成立,又

于是得恒成立,.

(2) 由(1)得

可知,当时,单调递增区间为,单调递减区间为 

时,单调递增区间为

单调递减区间为.

(3)解法一:由偶函数的性质得:函数在区间上也必定有零点,即方程在区间上有实数解,则

,可知函数在区间上单调递增,

.

解法二:若函数在区间上存在零点,则必有

.

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