Question

【题目】已知函数f（x）= ．（x＞0）
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当x＞0时，f（x）＞ 恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=

∴f′（x）= [ ﹣1﹣ln（x+1）]=﹣ [ +ln（x+1）]．

由x＞0，x2＞0， ＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．

因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数

（2）解：解法一：当x＞0时，f（x）＞ 恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．

又k为正整数．则k的最大值不大于3．

下面证明当k=3时，f（x）＞ （x＞0）恒成立．

即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．

令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，

则g′（x）=ln（x+1）﹣1．

当x＞e﹣1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e﹣1时，g′（x）＜0．

∴当x=e﹣1时，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．

∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．

因此正整数k的最大值为3．

解法二：当x＞0时，f（x）＞ 恒成立．

即h（x）= ＞k对x＞0恒成立．

即h（x）（x＞0）的最小值大于k．

由h′（x）= ，记Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．（x＞0）

则Φ′（x）= ＞0，

∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增．

又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，

∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），

由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：

h（x）（x＞0）的最小值为h（a）= =a+1∈（3，4）．

因此正整数k的最大值为3

【解析】（1）直接求函数f（x）的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；（2）可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．