Question

椭圆ax²+by²=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的直线斜率为

3

2

，则

a

b

的值为（　　）

• A、

  2 3

  27

• B、

  9 3

  2

• C、

  2 3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把y=1-x代入椭圆ax²+by²=1得ax²+b（1-x）²=1，由根与系数的关系可以推出线段AB的中点坐标为（

b

a+b

，

a

a+b

），再由过原点与线段AB中点的直线的斜率为

3

2

，能够导出

a

b

的值．

解答： 解：把y=1-x代入椭圆ax²+by²=1得ax²+b（1-x）²=1，
整理得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2b

a+b

，y₁+y₂=

2a

a+b

，
∴线段AB的中点坐标为（

b

a+b

，

a

a+b

），
∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k=

a a+b

b a+b

=

a

b

=

3

2

．
故选D．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．