Question

【题目】由四个不同的数字1，2，4，组成无重复数字的三位数.（最后的结果用数字表达）

（Ⅰ）若,其中能被5整除的共有多少个？

（Ⅱ）若，其中能被3整除的共有多少个？

（Ⅲ）若，其中的偶数共有多少个？

（Ⅳ）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求．

Answer 1

【答案】（1）6个；（2）12个；（3）14个；（4）x=7

【解析】

试题（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；

（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；

（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；

（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．

解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；

又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，

在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，

即能被5整除的三位数共有6个；

（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；

又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，

取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，

取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，

则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；

（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；

又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，

当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，

当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，

此时三位偶数一共有6+8=14个，

（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，

则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，

故x=0不成立；

当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，

则每个数字用了=18次，

则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．