【题目】已知定点M(﹣ ),N是圆C:(x﹣
)2+y2=16(C为圆心) 上的动点,MN的垂直平分线与NC交于点E.
(1)求动点E的轨迹方程C1;
(2)直线l与轨迹C1交于P,Q两点,与抛物线C2:x2=4y交于A,B两点,且抛物线C2在点A,B处的切线垂直相交于S,设点S到直线l的距离为d,试问:是否存在直线l,使得d= ?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:依题意有:|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故动点E的轨迹为以M,C为焦点,长轴为4的椭圆.
于是: ,从而
,故动点E的轨迹方程C1为:
(2)解:设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3)Q(x4,y4),由 ,
得:x2﹣4kx﹣4m=0,故x1+x2=4k,x1x2=﹣4m.
由x2=4y得: ,即切线斜率
.
于是: ,
由PA⊥PB得; ,
解得:m=1,
这说明直线l过抛物线C2的焦点F,由 ,
得: 即S(2k,﹣1).
于是:点S(2k,﹣1)到直线l:kx﹣y+1=0的距离 ,
由 得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,
从而 ,
同理:|AB|=4(1+k2),
由 得
,
化简整理,得:28k4+36k2+7=0,此方程无解,
所以不存在直线l,使得
【解析】(1)由题意可知::|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故动点E的轨迹为以M,C为焦点,长轴为4的椭圆,分别求得a、b和c的值,求得动点E的轨迹方程C1;(2)设出直线l的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得x1+x2及x1x2 , 利用导数法求得直线PA和PB的斜率,由PA⊥PB,求得m的值,直线l过抛物线C2的焦点F,求得交点S的坐标,根据点到直线的距离公式,求得S到到直线l:kx﹣y+1=0的距离d,根据弦长公式求得丨PQ丨及|AB|,由 ,求得28k4+36k2+7=0,此方程无解,不存在直线l,使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(﹣1,0),离心率e=.
(1)求椭圆G 的标准方程;
(2)已知直线l1:y=kx+m1与椭圆G交于 A,B两点,直线l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆G交于C,D两点,且|AB|=|CD|,如图所示.
①证明:m1+m2=0;
②求四边形ABCD 的面积S 的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,并满足:
1)f(x)=2axg(x),(a>0,a≠1);
2)g(x)≠0;
3)f(x)g′(x)<f′(x)g(x)且 +
=5,则a= .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,x2}与B={1,4}是它的子集,
(1)求UB;
(2)若A∩B=B,求x的值;
(3)若A∪B=U,求x.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,
.
(1)当 (
为自然对数的底数)时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的零点的个数;
(3)若对任意,
恒成立,求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;
(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)﹣f(x)的值域.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法中,正确的是
·(1)任取x>0,均有3x>2x;
·(2)当a>0,且a≠1时,有a3>a2;
·(3)y=( )﹣x是减函数;
·(4)函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,所以f(x)是增函数;
·(5)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,则b2﹣8a<0且a>0;
·(6)y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1,+∞).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com