Question

4．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC
（1）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；
（2）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成的角．
（2）过A作AH⊥EB于H，连结HM，则∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，由此能求出二面角A-EB-C的大小．

解答 解：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=1，则A（1，0，0），B（0，1，0），E（1，0，1），C（0，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，0，1），
设平面EBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设直线AB与平面EBC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．
（2）过A作AH⊥EB于H，连结HM，
∵AM⊥平面EBC，
∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，
∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH，
设EA=AC=BC=2a，可得AB=2$\sqrt{2}a$，EB=2$\sqrt{3}a$，
∴AH=$\frac{AE•AB}{EB}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$，
∴sin$∠AHM=\frac{AM}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠AHM=60°，
∴二面角A-EB-C等于60°．

点评 本题考查线面角、二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．