Question

如图，经过正三棱柱底面一边AB，作与底面成30角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm²，求截得的三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

【答案】分析：作△ABC的高CE，连接DE，利用截面三角形ABD的面积为32cm²，求出底面棱长，三棱锥的高CD，求出底面面积，再求它的体积．
解答：解：因为这个三棱锥是正三棱锥，
所以△ABC是正三角形，
且DC所在直线与△ABC所在平面垂直
如图，作△ABC的高CE，连接DE
由三垂线定理，知DE⊥AB，所以
∠DEC是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=30°
CE=
用S_截表示△ABD的面积，
则32=S_截=，
∴AB=8．
用S_底表示△ABC的面积，则
S_底=．
∵∠DEC=30°，所以DC=4，
∴V_三棱锥=S_底•DC=．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．