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已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|
(1)求实数a、b间满足的等量关系;
(2)若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点,试求半径取最小值时圆P的方程.
分析:(1)由已知Q为切点,可知PQ⊥OQ,结合勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2及已知|PQ|=|PA|,利用两点间的距离公式可得a,b之间的关系
(2)设圆P的半径为R,由圆P与圆O有公共点,且半径最小,可知R=OP,利用两点间的距离,结合(1)中a,b的关系可转化为关于a的二次形式,结合二次函数的性质可求R的最小值,进而可求圆的方程
法二:圆P与圆O有公共点,圆P半径最小时为与圆O外切的情形,而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1,圆心为P过原点与l垂直的直线l'与l的交点P0,可求
解答:解:(1)连OP,∵Q为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2
∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2-1
∴a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2
化简可得,2a+b-3=0
(2)设圆P的半径为R,
∵圆P与圆O有公共点,且半径最小,
∴R=|OP|=
a2+b2
=
a2+(-2a+3)2
=
5(a-
6
5
)
2
+
9
5

故当a=
6
5
时,|OP|min=
3
5
5

此时,b=-2a+3=
3
5
Rmin=
3
5
5
-1

得半径取最小值时圆P的方程为(x-
6
5
)2+(y-
3
5
)2=(
3
5
5
-1)2

另解:圆P与圆O有公共点,圆P半径最小时为与圆O外切的情形,而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1,圆心为P过原点与l垂直的直线l'与l的交点P0
r=
3
22+12
-1=
3
5
5
-1.
又l':x-2y=0,
解方程组
x-2y=0
2x+y-3=0
,得
x=
6
5
y=
3
5
.即P0( 
6
5
3
5
).
∴所求圆方程为(x-
6
5
)2+(y-
3
5
)2=(
3
5
5
-1)2
点评:本题主要考查了圆的性质的简单应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力,试题具有一定的综合性
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2
2
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+
y2
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